Question

某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不能超过利润的25%．现有三个奖励模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，分析与推导哪个函数模型能符合该公司的要求？并给予证明．（注：1.002⁵⁰⁰≈2.7）

Answer 1

分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x•25%，然后一一验证即可．

解答：解：函数f1(x)=0.25x，f3(x)=1.002x在[10，1000]内单调递增，且f₁（1000）=250，f3(1000)=(1+0.002)1000=[(1+0.002)500]2≈2.72=7.29，两者都大于5万元，因而第一、三两个模拟函数显然不符合公司要求．…（3分）
而对于函数f₂（x）=log₇x+1，函数在[10，1000]上也是单调递增的，而且f2(1000)=log71000+1＜log774+1=5，因而符合第一个要求；…（6分）
下面再考虑

y

x

=

log7x+1

x

≤0.25是否在[10，1000]上恒成立．
令f(x)=log7x-

1

4

x+1，x∈[10，1000]，
则f′(x)=

1

x

log7e-

1

4

≤

1

10

log7e-

1

4

＜

1

10

-

1

4

＜0，
从而fmax(x)=f(10)=log710-

3

2

=

3

2

(log343100-1)＜0，则f（x）＜0．
即

y

x

=

log7x+1

x

≤0.25成立，因而符合公司的第二个要求．
综上所述，只有模型y=log₇x+1能符合公司要求．…（12分）

点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．