题目内容

已知a为正的常数，若不等式 $数学公式$ 对一切非负实数x恒成立，则a的最大值为________．

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分析：依题意，可将a分离出来，构造函数，f（x）=4（1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（x≥0），利用该函数的单调递增的性质求其最小值，即可求得a的最大值．
解答：∵a＞0，x≥0， $\text{[math]}$ ≥1+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ≥1+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴0＜a≤4（1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）对一切非负实数x恒成立．
令f（x）=4（1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（x≥0），则0＜a≤f（x）_min．
∵f′（x）=4（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）＞0，
∴f（x）=4（1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（x≥0）在[0，+∞）上单调递增，
∴f（x）_min=f（0）=8．
∴0＜a≤8．
故a的最大值为8．
故答案为：8．
点评：本题考查函数恒成立问题，分离参数a，构造函数f（x）=4（1+ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（x＞0）是关键，也是难点，考查创新思维与转化思想，属于难题．