题目内容

某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖；奖金30元，三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．
（1）员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；
（2）员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？

解：（1）由题意知甲抽一次奖，基本事件总数是C₁₀³=120，
奖金的可能取值是0，30，60，240，
∴一等奖的概率P（ξ=240）= $\text{[math]}$ ，
P（ξ=60）= $\text{[math]}$
P（ξ=30）= $\text{[math]}$ ，
P（ξ=0）=1- $\text{[math]}$
∴变量的分布列是ξ

ξ	0	30	60	240
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

∴E ξ= $\text{[math]}$ =20
（2）由（1）可得乙一次抽奖中奖的概率是1- $\text{[math]}$
四次抽奖是相互独立的
∴中奖次数η～B（4， $\text{[math]}$ ）
∴Dη=4× $\text{[math]}$
分析：（1）由题意知甲抽一次奖，基本事件总数是C₁₀³，奖金的可能取值是0，30，60，240，结合变量对应的事件写出变量对应的概率，写出分布列和期望值．
（2）由（1）可得乙一次抽奖中奖的概率，和四次抽奖是相互独立的，得到中奖的次数符合二项分布，根据二项分布的方差公式写出结果．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查二项分布的方差公式，解本题的关键是看清题目中所给的变量的特点，看出符合的规律，选择应用的公式．