题目内容
已知数列是各项均不为
的等差数列,公差为
,
为其前
项和,且满足
,
.数列
满足
,
为数列
的前n项和.
(1)求数列的通项公式
和数列
的前n项和
;
(2)若对任意的,不等式
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)是否存在正整数,使得
成等比数列?若存在,求出所有
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】
解:(1)(法一)在中,令
,
,
得 即
………………………2分
解得,
,
又时,
满足
,
………………3分
,
. ………………5分
(法二)是等差数列,
.
…………………………2分
由,得
,
又,
,则
. ………………………3分
(求法同法一)
(2)①当为偶数时,要使不等式
恒成立,即需不等式
恒成立. …………………………………6分
,等号在
时取得.
此时
需满足
.
…………………………………………7分
②当为奇数时,要使不等式
恒成立,即需不等式
恒成立.
…………………………………8分
是随
的增大而增大,
时
取得最小值
.
此时
需满足
. …………………………………………9分
综合①、②可得的取值范围是
.
………………………………………10分
(3),
若成等比数列,则
,
即.
………………………12分
由,可得
,即
,
.
……………………………………14分
又,且
,所以
,此时
.
因此,当且仅当,
时,数列
中的
成等比数列.…16分
[另解:因为,故
,即
,
,(以下同上). ……………………………………14分]
【解析】略

练习册系列答案
相关题目