题目内容

已知数列是各项均不为的等差数列,公差为为其前 项和,且满足.数列满足为数列的前n项和.

(1)求数列的通项公式和数列的前n项和

(2)若对任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围;

(3)是否存在正整数,使得成等比数列?若存在,求出所有的值;若不存在,请说明理由.

 

【答案】

解:(1)(法一)在中,令

   即        ………………………2分

解得

时,满足 ………………3分

.   ………………5分

(法二)是等差数列,

.       …………………………2分

,得 ,                        

,则.     ………………………3分

(求法同法一)

(2)①当为偶数时,要使不等式恒成立,即需不等式

恒成立.    …………………………………6分

,等号在时取得.           

此时 需满足.              …………………………………………7分

②当为奇数时,要使不等式恒成立,即需不等式恒成立.      …………………………………8分

是随的增大而增大, 取得最小值

此时 需满足.            …………………………………………9分

综合①、②可得的取值范围是. ………………………………………10分

(3)

成等比数列,则

.                           ………………………12分

,可得,即

.                 ……………………………………14分

,且,所以,此时

因此,当且仅当时,数列中的成等比数列.…16分

[另解:因为,故,即

,(以下同上).    ……………………………………14分]

【解析】略

 

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