题目内容
(本小题满分12分). 若直线l:与抛物线交于A、B两点,O点是坐标原点。
(1)当m=-1,c=-2时,求证:OA⊥OB;
(2)若OA⊥OB,求证:直线l恒过定点;并求出这个定点坐标。
(3)当OA⊥OB时,试问△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何?证明你的结论。
(1)当m=-1,c=-2时,求证:OA⊥OB;
(2)若OA⊥OB,求证:直线l恒过定点;并求出这个定点坐标。
(3)当OA⊥OB时,试问△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何?证明你的结论。
设A(x1,y1)、B(x2,y2),由得
可知y1+y2=-2m y1y2="2c " ∴x1+x2=2m2—2c x1x2= c2,
(1) 当m=-1,c=-2时,x1x2 +y1y2="0" 所以OA⊥OB.
(2) 当OA⊥OB时,x1x2 +y1y2="0" 于是c2+2c="0" ∴c=-2(c=0不合题意),此时,直线l:过定点(2,0).
(3) 由题意AB的中点D(就是△OAB外接圆圆心)到原点的距离就是外接圆的半径。
而(m2—c+)2-[(m2—c)2+m2 ]= 由(2)知c=-2
∴圆心到准线的距离大于半径,故△OAB的外接圆与抛物线的准线相离。
可知y1+y2=-2m y1y2="2c " ∴x1+x2=2m2—2c x1x2= c2,
(1) 当m=-1,c=-2时,x1x2 +y1y2="0" 所以OA⊥OB.
(2) 当OA⊥OB时,x1x2 +y1y2="0" 于是c2+2c="0" ∴c=-2(c=0不合题意),此时,直线l:过定点(2,0).
(3) 由题意AB的中点D(就是△OAB外接圆圆心)到原点的距离就是外接圆的半径。
而(m2—c+)2-[(m2—c)2+m2 ]= 由(2)知c=-2
∴圆心到准线的距离大于半径,故△OAB的外接圆与抛物线的准线相离。
略
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