题目内容

一个口袋中装有三个红球和两个白球．第一步：从口袋中任取两个球，放入一个空箱中；第二步：从箱中任意取出一个球，记下颜色后放回箱中．若进行完第一步后，再重复进行三次第二步操作，
（理科）设ξ表示从箱中取出红球的个数，求ξ的分布列，并求出Eξ和Dξ．
（文科）分别求出从箱中取出一个红球、两个红球、三个红球的概率．
分析：（理）ξ的取值可能为0，1，2，3，然后根据等可能事件的概率公式求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式和方差公式解之即可；
（文）设从箱中取出一个红球、两个红球、三个红球的概率分别为P1、P2、P3，然后根据等可能事件的概率公式求出相应的概率即可．
解答：解：（理）ξ的取值可能为0，1，2，3
第一步操作结束后，箱子中没有红球的概率为
C
2
2
C
2
5
=
1
10
，
箱子中有1个红球的概率为
C
1
3
C
1
2
C
2
5
=
3
5
，
箱子中有2个红球的概率为
C
2
3
C
2
5
=
3
10
，-------（3分）
则P(ξ=0)=
1
10
×1+
3
5
×
C
0
3
(
1
2
)3+
3
10
×0=
7
40
，
P(ξ=1)=
1
10
×0+
3
5
×
C
1
3
1
2
(
1
2
)2+
3
10
×0=
9
40
，
P(ξ=2)=
1
10
×0+
3
5
×
C
2
3
(
1
2
)2
1
2
+
3
10
×0=
9
40
，
P(ξ=3)=
1
10
×0+
3
5
×
C
3
3
(
1
2
)3+
3
10
×1=
3
8
，（9分）
所以ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
7
40
9
40
9
40
3
8
--------（10分）
Eξ=0×
7
40
+1×
9
40
+2×
9
40
+3×
3
8
=
9
5
--------（12分）Dξ=(0-
9
5
)2×
7
40
+(1-
9
5
)2×
9
40
+(2-
9
5
)2×
9
40
+(3-
9
5
)2×
3
8
=
63
50
------（14分）
（文）设从箱中取出一个红球、两个红球、三个红球的概率分别为P1、P2、P3----（2分）
第一步操作结束后，箱子中没有红球的概率为
C
2
2
C
2
5
=
1
10
，
箱子中有1个红球的概率为
C
1
3
C
1
2
C
2
5
=
3
5
，箱子中有2个红球的概率为
C
2
3
C
2
5
=
3
10
，-------（5分）
则P1=
1
10
×0+
3
5
×
C
1
3
1
2
(
1
2
)2+
3
10
×0=
9
40
，--------（8分）
P2=
1
10
×0+
3
5
×
C
2
3
(
1
2
)2
1
2
+
3
10
×0=
9
40
，--------（11分）
P3=
1
10
×0+
3
5
×
C
3
3
(
1
2
)3+
3
10
×1=
3
8
．-------（14分）
点评：本题主要考查了等可能事件的概率，以及离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量的期望与方差，同时考查了计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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一个口袋中装有n个红球（n≥4且n∈N）和5个白球，从中摸两个球，两个球颜色相同则为中奖．
（Ⅰ）若一次摸两个球，试用n表示一次摸球中奖的概率p；
（Ⅱ）若一次摸一个球，当n=4时，求二次摸球（每次摸球后不放回）中奖的概率；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有二次中奖的概率为P，当n取多少时，P最大？
一个口袋中装有n个红球（n≥5且n∈N）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．
（Ⅰ）试用n表示一次摸奖中奖的概率p；
（Ⅱ）若n=5，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；
（Ⅲ） 记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P．当n取多少时，P最大？
一个口袋中装有三个红球和两个白球．第一步：从口袋中任取两个球，放入一个空箱中；第二步：从箱中任意取出一个球，记下颜色后放回箱中．若进行完第一步后，再重复进行三次第二步操作，
（理科）设ξ表示从箱中取出红球的个数，求ξ的分布列，并求出Eξ和Dξ．
（文科）分别求出从箱中取出一个红球、两个红球、三个红球的概率．
一个口袋中装有三个红球和两个白球．第一步：从口袋中任取两个球，放入一个空箱中；第二步：从箱中任意取出一个球，记下颜色后放回箱中．若进行完第一步后，再重复进行三次第二步操作，
（理科）设ξ表示从箱中取出红球的个数，求ξ的分布列，并求出Eξ和Dξ．
（文科）分别求出从箱中取出一个红球、两个红球、三个红球的概率．

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