Question

设a₀为常数，且a_n=3^n-1-2a_n-1（n∈N⁺）．
（1）若数列{a_n+λ3ⁿ}是等比数列，求实数λ的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）假设对任意n≥1，有a_n≥a_n-1，求a₀的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意知  a_n+λ3ⁿ=-2（a_n-1+λ3^n-1），故 a_n=-2a_n-1-2•λ•3^n-1-λ3ⁿ，待定系数法求出实数λ的值．
（2）根据数列{an-

1

5

•3n} 的首项为a0-

1

5

，公比为-2，可得通项公式．
（3）利用（2）的结果，得a_n≥a_n-1等价于(-1)n-1(5a0-1)＜(

3

2

)n-2…③，分n为奇数和偶数两种情况分别求出
 a₀的值，取交集即得所求．

解答：解：（1）由题意知a_n+λ3ⁿ=-2（a_n-1+λ3^n-1），a_n=-2a_n-1-2•λ•3^n-1-λ3ⁿ，∴λ=-

1

5

．
（2）数列{an-

1

5

•3n} 的首项为a0-

1

5

，公比为-2．
an-

1

5

•3n=(a0-

1

5

)(-2)n，∴an=(-2)na0+

1

5

•3n-

1

5

•(-2)n，n=0，1，2，3，…
（3）利用（2）的结果，得a_n≥a_n-1等价于(-1)n-1(5a0-1)＜(

3

2

)n-2…③
对任意的奇数n＞0，③式都成立的充要条件为5a0-1＜(

3

2

)1-2=

2

3

，即a0＜

1

3

；
而对任意的偶数n＞0，③式都成立的充要条件为1-5a0＜(

3

2

)2-2=1，即a₀＞0．
因此任意n≥1，都使a_n≥a_n-1成立的a₀的取值范围为 (0，

1

3

)．

点评：本题考查等比数列的定义和性质，等比关系的确定，数列与不等式的综合，体现了等价转化的数学思想，
求出数列的通项公式，是解题的关键．