Question

16．已知集合X={x₁，x₂，…x_n}（n∈N^*，n≥3），若数列{x_n}是等差数列，记集合P（X）={x|x=x_i+x_j，x_i，x_j?X，1≤i＜j≤n，i，j∈N^*}的元素个数为|P（X）|，则|P（X）|关于n的表达式为2n-3．

Answer 1

分析 利用特殊化思想，取特殊的等差数列进行计算，结合类比推理可得|P（X）|=2n-3．

解答 解：∵集合X={a₁，a₂，…，a_n}（n∈N^*，n≥3），定义集合P（X）={x|x=x_i+x_j，x_i，x_j∈X，1≤i＜j≤n，i，j∈N^*}，
∴取特殊的等差数列进行计算，
取X={1，2，3，…，n}，则|P（X）|={3，4，5，…，2n-1}，
∵（2n-1）-3+1=2n-3，
∴P（X）=中共2n-3个元素，
利用类比推理可得
若a₁，a₂，…，a_n是公差大于零的等差数列，则|P（X）|=2n-3．
故答案为：2n-3．

点评 本题考查集合与元素的位置关系和数列的综合应用，综合性较强，解题时注意特殊化思想和转化思想的运用，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属基础题．