题目内容
已知ABCD-A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，高AA1=2，求（1）异面直线BD与AB1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
（2）求点C到平面BDC1的距离及直线B1D与平面CDD1C1所成的角．
分析：通过建立空间直角坐标系，（1）利用异面直线的方向向量所成的夹角即可得出；（2）求出平面BDC1的法向量，利用点C到平面BDC1的距离公式d=
即可得出；
（3）求出平面CDD1C1的法向量，利用sinθ=|cos＜
，
＞|=
即可得出．
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（3）求出平面CDD1C1的法向量，利用sinθ=|cos＜
| B1D |
| A1D1 |
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| ||||
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解答：解：（1）如图所示，
建立空间直角坐标系．
则A1（0，0，0），B1（1，0，0），C1（1，1，0），D1（0，1，0），A（0，0，2），B（1，0，2），C（1，1，2），D（0，1，2），
∴
=(-1，1，0)，
=（1，0，-2）．
∴cos＜
，
＞=
=
=-
．
∴异面直线BD与AB1所成角=arccos
．
（2）由（1）可知：
=(0，1，0)，
=(-1，0，2)．
设平面BDC1的法向量为
=(x，y，z)，
则
，即
，令z=1，则x=2，y=2．
∴
=(2，2，1)．
∴点C到平面BDC1的距离d=
=
=
．
（3）由（1）可知：
=（-1，1，2）．
∵A1D1⊥平面CDD1C1，∴可取
=（0，1，0）作为平面CDD1C1的法向量．
设直线B1D与平面CDD1C1所成的角为θ．
则sinθ=|cos＜
，
＞|=
=
=
．
建立空间直角坐标系．则A1（0，0，0），B1（1，0，0），C1（1，1，0），D1（0，1，0），A（0，0，2），B（1，0，2），C（1，1，2），D（0，1，2），
∴
| BD |
| AB1 |
∴cos＜
| BD |
| AB1 |
| ||||
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| -1 | ||||
|
| ||
| 10 |
∴异面直线BD与AB1所成角=arccos
| ||
| 10 |
（2）由（1）可知：
| BC |
| C1D |
设平面BDC1的法向量为
| n |
则
|
|
∴
| n |
∴点C到平面BDC1的距离d=
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| ||||
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| 2 | ||
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| 2 |
| 3 |
（3）由（1）可知：
| B1D |
∵A1D1⊥平面CDD1C1，∴可取
| A1D1 |
设直线B1D与平面CDD1C1所成的角为θ．
则sinθ=|cos＜
| B1D |
| A1D1 |
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| ||||
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| 1 | ||
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| ||
| 6 |
点评：熟练掌握通过建立空间直角坐标系、由异面直线的方向向量所成的夹角求异面直线所成的角、点C到平面BDC1的距离公式d=
、由sinθ=|cos＜
，
＞|=
求线面角是解题的关键．
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| B1D |
| A1D1 |
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练习册系列答案
相关题目
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，
如图所示，已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，E为C1C上的点，且CE=1，
如图：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点F为A1D的中点．
如图，已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F．