题目内容
某同学对函数f（x）=xsinx进行研究后，得出以下结论：
①函数y=f（x）的图象是轴对称图形；
②对任意实数x，|f（x）|≤|x|均成立；
③函数y=f（x）的图象与直线y=x有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；
④当常数k满足|k|＞1时，函数y=f（x）的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点．
其中所有正确结论的序号是（ ）
①函数y=f（x）的图象是轴对称图形；
②对任意实数x，|f（x）|≤|x|均成立；
③函数y=f（x）的图象与直线y=x有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；
④当常数k满足|k|＞1时，函数y=f（x）的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点．
其中所有正确结论的序号是（ ）
分析：①易知f（-x）=f（x），f（x）是偶函数，从而可判断①的正误；
②由|sinx|≤1即可判断②的正误；
③当x=2kπ+
（k∈Z）或x=2kπ-
（k∈Z）时，sinx=1或-1，可判断故函数y=f（x）的图象与直线y=x有无穷多个公共点，但任意相邻两点的距离相等不相等，从而可判断③的正误；
④当常数k满足|k|＞1时，函数y=f（x）的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点为（0，0），从而可得答案．
②由|sinx|≤1即可判断②的正误；
③当x=2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
④当常数k满足|k|＞1时，函数y=f（x）的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点为（0，0），从而可得答案．
解答：解：①∵f（-x）=-xsin（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函数，
∴函数y=f（x）的图象关于y轴对称，即y=f（x）的图象是轴对称图形，故①正确；
②∵|sinx|≤1，
∴对任意实数x，|f（x）|≤|x|均成立，正确；
③当x=2kπ+
（k∈Z）或x=2kπ-
（k∈Z）时，sinx=1或-1，
故函数y=f（x）的图象与直线y=x有无穷多个公共点，但任意相邻两点的距离不相等（任意相邻两点的横坐标距离相等），故③错误；
④∵|f（x）|≤|x|，
∴当常数k满足|k|＞1时，函数y=f（x）的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点（0，0），故④正确；
综上所述，所有正确结论的序号是①②④．
故选C．
∴f（x）是偶函数，
∴函数y=f（x）的图象关于y轴对称，即y=f（x）的图象是轴对称图形，故①正确；
②∵|sinx|≤1，
∴对任意实数x，|f（x）|≤|x|均成立，正确；
③当x=2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
故函数y=f（x）的图象与直线y=x有无穷多个公共点，但任意相邻两点的距离不相等（任意相邻两点的横坐标距离相等），故③错误；
④∵|f（x）|≤|x|，
∴当常数k满足|k|＞1时，函数y=f（x）的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点（0，0），故④正确；
综上所述，所有正确结论的序号是①②④．
故选C．
点评：本题是基础题，考查三角函数的基本性质，牢记基本知识，基本性质是解好数学题目的关键
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