Question

正三棱锥P-ABC内接于半球O，底面ABC在大圆面上，则它相邻的两个侧面所成二面角的余弦值为（　　）

• A．

  4

  15

• B．

  1

  3

• C．

  1

  4

• D．

  1

  5

Answer 1

分析：设半球的半径为单位1，从而可知正三角形ABC的边长，进而可以求出侧棱长，在侧面上以任一个底角为顶点做高，由此可求高长，从而利用余弦定理，可求 相邻的两个侧面所成二面角的余弦值

解答：解：由题意，设半球的半径为单位1，则正三角形ABC的边长为

3

；
三棱锥的高为1，所以侧边PA=PB=PC=

2

；
在侧面上以任一个底角为顶点做高，它的长度等于

30

4

根据余弦定理，三角形的两边长为

30

4

，底边为

3

，
从而余弦值就是

( 30 4 )2 +( 30 4 )2-3

2× 30 4 × 30 4

=

1

5

即相邻的两个侧面所成二面角的余弦值为

1

5

故选D．

点评：本题以半球为载体，考查正三棱锥，考查面面角，关键是作出面面角，从而利用余弦定理进行求解．