Question

设a＞0，b＞0，给出下列命题：
①若2^a+2a=2^b+3b，则a＞b；        ②若2^a+2a=2^b+3b，则a＜b；
③若2^a-2a=2^b-3b，则a＞b；        ④若2^a-2a=2^b-3b，则a＜b；
其中真命题是

①

．（填序号）

Answer 1

分析：利用导数得出函数的单调性和图象，进而即可得出结论．

解答：解：对于①②考查函数f（x）=2^x+2x，g（x）=2^x+3x的单调性与图象：
可知函数f（x）、g（x）在R上都单调递增，
若2^a+2a=2^b+3b，则a＞b，因此①正确；
对于③④分别考查函数u（x）=2^x-2x，v（x）=2^x-3x单调性与图象：
u′(x)=ln2(2x-

2

ln2

)，当0＜x＜log2

2

ln2

时，u^′（x）＜0，函数u（x）单调递减；当x＞log2

2

ln2

时，u^′（x）＞0，函数u（x）单调递增．
故在x=log2

2

ln2

取得最小值-

2

ln2

．
v′(x)=ln2(2x-

3

ln2

)，当0＜x＜log2

3

ln2

时，v^′（x）＜0，函数v（x）单调递减；当x＞log2

3

ln2

时，v^′（x）＞0，函数v（x）单调递增．
故在x=log2

3

ln2

取得最小值-

6

ln2

．
据以上可画出图象．
据图象可知：
当2^a-2a=2^b-3b，a＞0，b＞0时，
可能a＞b或a＜b．
因此③④不正确．
综上可知：只有①正确．
故答案为①．

点评：熟练利用导数研究函数的单调性和图象是解题的关键．