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精英家教网如图,设P是单位圆和x轴正半轴的交点,M、N是单位圆上的两点,O是坐标原点,∠POM=
π
3
,∠PON=α,α∈[0,π],f(α)=|
OM
+
ON
|
,则f(a)的范围为
 
分析:根据M、N是单位圆上的两点,∠POM=
π
3
,∠PON=α,以及三角函数的定义写出点N,M的坐标,求出
OM
ON
,并代入 f(α)=|
OM
+
ON
|
,利用三角恒等变形,化简为sin(α+
π
6
),要求f(α)=|
OM
+
ON
|
的范围,只需求sin(α+
π
6
),在区间[0,π]上的最值即可.
解答:解:∵M、N是单位圆上的两点,∠POM=
π
3
,∠PON=α,
∴M(
1
2
3
2
),N(cosα,sinα),
OM
=(
1
2
3
2
),
ON
=(cosα,sinα),
f(α)=|
OM
+
ON
|
=
(
1
2
+cosα)
2
+(
3
2
+sinα)
2
=
2+2sin(α+
π
6
)

∵α∈[0,π],
∴α+
π
6
∈[
π
6
6
],
∴sin(α+
π
6
)∈[-
1
2
,1]

∴f(α)∈[1,2]
故答案为[1,2].
点评:此题是个中档题.考查向量在几何中的应用,同时考查了三角函数的定义和向量的数量积的坐标运算,三角函数在区间上的最值问题,体现了转化的思想,考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力.
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