Question

已知不等式（ax-1）（x+1）＜0 （a∈R）．
（1）若x=a时不等式成立，求a的取值范围；
（2）当a≠0时，解这个关于x的不等式．

Answer 1

分析：（1）若x=a时不等式成立，不等式转化为关于a的不等式，直接求a的取值范围；
（2）当a≠0时，当a＞0、-1＜a＜0、a＜-1三种情况下，比较

1

a

，-1的大小关系即可解这个关于x的不等式．

解答：解：（1）由x=a时不等式成立，即（a²-1）（a+1）＜0，所以（a+1）²（a-1）＜0，
所以a＜1且a≠-1．所以a的取值范围为（-∞，-1）∪（-1，1）．（6分）
（2）当a＞0时，

1

a

＞-1，所以不等式的解：-1＜x＜

1

a

；
当-1＜a＜0时，

1

a

＜-1，所以不等式（ax-1）（x+1）＜0的解：

1

a

＜x或x＜-1；
当a＜-1时，

1

a

＞-1，所以不等式的解：x＜-1或x＞

1

a

．
当a=-1时，不等式的解：x＜-1或x＞-1
综上：当a＞0时，所以不等式的解：-1＜x＜

1

a

；
当-1＜a＜0时，所以不等式的解：

1

a

＜x或x＞-1；
当a≤-1时，所以不等式的解：x＜-1或x＞

1

a

．（15分）

点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查转化思想，分类讨论思想，是中档题．