题目内容

已知不等式(ax-1)(x+1)<0 (a∈R).
(1)若x=a时不等式成立,求a的取值范围;
(2)当a≠0时,解这个关于x的不等式.
分析:(1)若x=a时不等式成立,不等式转化为关于a的不等式,直接求a的取值范围;
(2)当a≠0时,当a>0、-1<a<0、a<-1三种情况下,比较
1
a
,-1
的大小关系即可解这个关于x的不等式.
解答:解:(1)由x=a时不等式成立,即(a2-1)(a+1)<0,所以(a+1)2(a-1)<0,
所以a<1且a≠-1.所以a的取值范围为(-∞,-1)∪(-1,1).(6分)
(2)当a>0时,
1
a
>-1
,所以不等式的解:-1<x<
1
a

当-1<a<0时,
1
a
<-1
,所以不等式(ax-1)(x+1)<0的解:
1
a
<x
或x<-1;
当a<-1时,
1
a
>-1
,所以不等式的解:x<-1或x>
1
a

当a=-1时,不等式的解:x<-1或x>-1
综上:当a>0时,所以不等式的解:-1<x<
1
a

当-1<a<0时,所以不等式的解:
1
a
<x
或x>-1;
当a≤-1时,所以不等式的解:x<-1或x>
1
a
.(15分)
点评:本题考查一元二次不等式的解法,考查转化思想,分类讨论思想,是中档题.
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