Question

设数列{a_n}的各项都是正数，且对任意n∈N^*，都有a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²，记S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=3ⁿ+（-1）^n-1λ•2^a_n（λ为非零常数，n∈N^*），问是否存在整数λ，使得对任意 n∈N^*，都有b_n+1＞b_n．

Answer 1

分析：（1）利用n=1求出a₁，利用a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²，a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n-1³=S_n-1²，做差推出a_n-a_n-1=1证明是等差数列．
（2）假设存在λ使得满足题意，然后计算化简b_n+1-b_n，再结合恒成立问题进行转化，将问题转化为：(-1)n-1•λ＜(

3

2

)n-1对任意的n∈N*恒成立．然后分n为奇偶数讨论即可获得λ的范围，再结合为整数即可获得问题的解答．

解答：解：（1）在已知式中，当n=1时，a₁³=S₁²=a₁²
∵a₁＞0∴a₁=1…（2分）
当n≥2时，a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n²①a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n-1³=S_n-1²②
①-②得，a_n³=S_n²-S_n-1²=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1）
∵a_n＞0∴a_n²=S_n+S_n-1=2S_n-a_n③
∵a₁=1适合上式…（4分）
当n≥2时，a_n-1²=2S_n-1-a_n-1④
③-④得：a_n²-a_n-1²=2（S_n-S_n-1）-a_n+a_n-1=2a_n-a_n+a_n-1=a_n+a_n-1
∵a_n+a_n-1＞0∴a_n-a_n-1=1
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为1，可得a_n=n…（6分）
（2）假设存在整数λ，使得对任意 n∈N^*，都有b_n+1＞b_n．
∵a_n=n∴bn=3n+(-1)n-1λ•2an=3n+(-1)n-1λ•2n
∴b_n+1-b_n=[3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿλ•2ⁿ⁺¹]-[3ⁿ+（-1）^n-1λ•2ⁿ]=2•3ⁿ-3λ（-1）^n-1•2ⁿ＞0
∴(-1)n-1•λ＜(

3

2

)n-1⑤…（8分）
当n=2k-1（k∈N^*）时，⑤式即为λ＜(

3

2

)2k-2⑥
依题意，⑥式对k∈N^*都成立，∴λ＜1…（10分）
当n=2k（k∈N^*）时，⑤式即为λ＞-(

3

2

)2k-1⑦
依题意，⑦式对k∈N^*都成立，
∴λ＞-

3

2

…（12分）
∴-

3

2

＜λ＜1，又λ≠0
∴存在整数λ=-1，使得对任意n∈N^*，都有b_n+1＞b_n…（14分）

点评：本题考查的是数列与不等式的综合题．在解答的过程当中充分体现了数列通项与前n项和的知识、分类讨论的知识以及恒成立问题的解答规律．值得同学们体会和反思．