题目内容

(08年山东卷理)(本小题满分12分)

已知函数f(x)=为偶函数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为

(Ⅰ)求f)的值;

(Ⅱ)将函数yf(x)的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数yg(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.

解析】(Ⅰ)f(x)=

=2sin(-)

因为f(x)为偶函数,

所以对xR,f(-x)=f(x)恒成立,

因此sin(--)=sin(-).

即-sincos(-)+cossin(-)=sincos(-)+cossin(-),

整理得 sincos(-)=0.因为>0,且xR,所以cos(-)=0.

又因为0<<π,故 -.所以f(x)=2sin(+)=2cos.

由题意得,所以

故 f(x)=2cos2x.

因为

(Ⅱ)将f(x)的图象向右平移个个单位后,得到的图象,再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到的图象.

 所以

  当  (k∈Z),

  即4kπ+≤x≤4kπ+ (k∈Z)时,g(x)单调递减.

  因此g(x)的单调递减区间为   (k∈Z)

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