Question

【题目】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2+b2+c2=ac+bc+ca．
（1）证明：△ABC是正三角形；
（2）如图，点D的边BC的延长线上，且BC=2CD，AD= ，求sin∠BAD的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由a2+b2+c2=ac+bc+ca，

得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，

所以a﹣b=b﹣c=c﹣a=0，

所以a=b=c，

即△ABC是正三角形

（2）解：因为△ABC是等边三角形，BC=2CD，

所以AC=2CD，∠ACD=120°，

所以在△ACD中，由余弦定理可得：AD2=AC2+CD2﹣2ACCDcos∠ACD，

可得：7=4CD2+CD2﹣4CDCDcos120°，解得CD=1，

在△ABC中，BD=3CD=3，由正弦定理可得sin∠BAD= = = ．

【解析】（1）由已知利用配方法可得（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，从而可求a=b=c，即△ABC是正三角形．（2）由已知可求AC=2CD，∠ACD=120°，由余弦定理可解得CD=1，又BD=3CD=3，由正弦定理可得sin∠BAD= 的值．
【考点精析】通过灵活运用正弦定理的定义和余弦定理的定义，掌握正弦定理:；余弦定理:;;即可以解答此题．