Question

有5个大小重量相同的球，其中有3个红球2个蓝球，现在有放回地每次抽取一球，抽到一个红球记1分，抽到一个蓝球记-1分．
（1）ξ表示某人抽取3次的得分数，写出ξ的分布列，并计算ξ的期望和方差；
（2）若甲乙两人各抽取3次，求甲得分数恰好领先乙2分的概率．

Answer 1

分析：（1）抽取3个红球得3分，抽取2个红球1个蓝球得1分，抽取1个红球2个蓝球得-1分，抽取3个蓝球得-3分，从而求出ξ的取值，然后求出ξ取值的概率得到分布列，最后根据数学期望和方差的公式即可求出所求；
（2）若“甲得分数恰好领先乙”为事件A，包含以下三个基本事件，即甲得（3分）乙得（1分）、甲得（1分）乙得-1分或甲得-1分乙得-3分，然后将各个基本事件的概率相加即可求出．

解答：解：（1）ξ=3，1，-1，-3，其分布列为

ξ	3	1	-1	-3
P	27 125	54 125	36 125	8 125

ξ的期望是Eξ=3×

27

125

+1×

54

125

+（-1）×

36

125

+（-3）×

8

125

=

3

5

ξ的方差是Dξ=（3-

3

5

）²×

27

125

+（1-

3

5

）²×

54

125

+（-1-

3

5

）²×

36

125

+（-3-

3

5

）²×

8

125

=

72

25

答：ξ的期望是

3

5

，ξ的方差是

72

25

（2）若“甲得分数恰好领先乙”为事件A，包含以下三个基本事件，
即甲得（3分）乙得（1分）、甲得（1分）乙得-1分或甲得-1分乙得-3分，
则P（A）=

27

125

×

54

125

+

54

125

×

36

125

+

36

125

×

8

125

=

738

3125

    
答：甲得分数恰好领先乙（2分）的概率是

738

3125

点评：本题考查概率的应用，离散型随机变量的分布列和期望和方差等知识，同时考查利用概率知识解决问题的能力．