Question

（09年济宁一中反馈练习二）（14分）设，数列的前项和为，且在数列中，，

   （1）分别求数列，的通项公式；

   （2）若，求数列的前项和；

   （3）记的前项和为，试比较与2的大小，并证明。

    注：文科做（1）、（2），理科做（1）、（2）、（3）。

 

Answer 1

解析：①由已知

   

    又也满足上式

   

    又

   

   

   

   

    是以1为首项，2为公比的等比数列

   

   

       ②

   

   

   

   

   

   

   

   

       ③B_n=b₁+b₂+…+b_n

    =1+2+…+2^n-1+n=2ⁿ+n-1

    2A_n=2n²

    n=1时，2A₁=2，B₁=2    ∴A₁=B₁

    n=2时，2A₂=8>B₂=5

    n=3时，2A₃=18>B₃=10

    n=4时，2A₄=32>B₄=19

    n=5时，2A₅=50>B₅=36

    n=6时，2A₆=72>B₆=69

    猜想时，B_n>2A_n，下面用数学归纳法证明

   （i）n=7时，B₇+2⁷+7-1=134，2A₇=98

    ∴B₇>2A₇

   （ii）假设n=k（k≥7）时，不等式成立

    B_k>2A_k

    即2^k+k-1>2k²

    ∴2^k>2k²-k+1

    那么n=k+1时,B_k+1=2^k+1+k+1-1=2?2^k+k

    >2?(2k²-k+1)+k=4k²-k+2

    又4k²-k+2-2(k+1)²=2k²-5k=k(2k-5)

由k≥7知，2k-5>0

∴k(2k-5)>0

即4k²-k+2-2(k+1)²>0

    ∴4k²-k+2>2(k+1)²=A_k+1

∴B_k+1>2 A_k+1

∴n=k+1时，不等式也成立

由（i）（ii）可知，对n≥7(n∈N^*)都有B_n>2A_n