题目内容

(2013•徐州一模)已知角φ的终边经过点P(1,-1),点A(x1,y1),B(x2,y2)是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)图象上的任意两点,若|f(x1)-f(x2)|=2时,|x1-x2|的最小值为
π
3
,则f(
π
2
)
的值是
-
2
2
-
2
2
分析:由任意角的三角函数的定义求得tanφ=-1,故可以取φ=-
π
4
.再根据函数的图象的相邻的2条对称轴间的距离
等于
π
3
,故函数的周期为
3
,由此求得ω 的值,从而求得函数的解析式,即可求得 f(
π
2
)
的值.
解答:解:∵角φ的终边经过点P(1,-1),∴角φ的终边在第四象限,且tanφ=-1,故可以取φ=-
π
4

点A(x1,y1),B(x2,y2)是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)图象上的任意两点,
若|f(x1)-f(x2)|=2时,|x1-x2|的最小值为
π
3

则函数的图象的相邻的2条对称轴间的距离等于
π
3
,故函数的周期为
3
,故
ω
=
3
,解得ω=3.
故函数的解析式为 f(x)=sin(3x-
π
4
),∴f(
π
2
)
=sin(
2
-
π
4
)=sin
4
=-sin
π
4
=-
2
2

故答案为-
2
2
点评:本题主要考查任意角的三角函数的定义,由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,属于中档题.
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