题目内容
“5•12”汶川大地震中，受灾面积大，伤亡惨重，医疗队到达后，都会选择一个合理的位置，使伤员能在最短的时间内得到救治．设有三个乡镇，分别位于一个矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处，AB=10km，BC=5km，现要在该矩形的区域内（含边界），且与A，B等距离的一点O处建造一个医疗站，记O点到三个乡镇的距离之和为y．（1）设∠BAO=θ（rad），将y表示为θ的函数；
（2）试利用（1）的函数关系式确定医疗站的位置，使三个乡镇到医疗站的距离之和最短．
分析：（1）根据题意知PQ垂直平分AB，在直角三角形中由三角函数的关系可推得OP，从而得出y的函数关系式，注意最后要化为最简形式，确定自变量范围．
（2）欲确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短也就是最小值问题，（1）中已求出函数关系式，故可以利用导数求解最值，注意结果应与实际情况相符合．
（2）欲确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短也就是最小值问题，（1）中已求出函数关系式，故可以利用导数求解最值，注意结果应与实际情况相符合．
解答：解：（1）：延长PO，交AB于Q，由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），
则 OA=
=
，故 OB=
，又OP=5-5tanθ，
所以 y=OA+OB+OP=y=
+5(0≤θ≤
)；
（2）y′=
=
，令y′=0得sin θ=
，因为 0＜θ＜
，所以θ=
，当 θ∈(0，
)时，y′＜0，y是θ的减函数；当 θ∈(
，
)时，y′＞0，y是θ的增函数，所以当θ=
时，ymin=5+5
．这时点P位于线段AB的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边
km处．
则 OA=
| AQ |
| cosθ |
| 5 |
| cosθ |
| 5 |
| cosθ |
所以 y=OA+OB+OP=y=
| 10-5sinθ |
| cosθ |
| π |
| 4 |
（2）y′=
| -5cosθ•cosθ-(10-5sinθ)(-sinθ) |
| cos2θ |
| 5(2sinθ-1) |
| cos2θ |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 4 |
| π |
| 6 |
| 3 |
5
| ||
| 3 |
点评：本小题主要考查函数最值的应用．
①生活中的优化问题，往往涉及到函数的最值，求最值可利用单调性，也可直接利用导数求最值，要掌握求最值的方法和技巧．
②在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点．
①生活中的优化问题，往往涉及到函数的最值，求最值可利用单调性，也可直接利用导数求最值，要掌握求最值的方法和技巧．
②在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点．
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