Question

求证：对于任意不小于3的自然数，

2n-1

2n+1

＞

n

n+1

．

Answer 1

分析：首先分析题目求任意不小于3的自然数都满足

2n-1

2n+1

＞

n

n+1

，考虑到用数学归纳法去证明问题，首先验证当n=3时成立，再假设n=k成立去验证n=k+1是否成立，即可得证．

解答：证明：要证

2n-1

2n+1

＞

n

n+1

，只要证2ⁿ＞2n+1 （n≥3）即可．
（1）当n=3时，2³=8，2×3+1=7，不等式2ⁿ＞2n+1成立．
（2）假设n=k（k≥3，且k∈N*）时，不等式成立，即2^k＞2k+1，
则2^k+1=2•2^k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+2k＞2（k+1）+1，
即2^k+1＞2（k+1）+1．
综合（1）、（2）可知，对于任意不小于3的自然数大于号恒成立．
即得证．

点评：此题主要考查不等式的证明问题，其中涉及到数学归纳法的应用问题．数学归纳法在证明题中应用广泛，需要理解记忆．属于中档题．