题目内容
过椭圆x2+4y2=4的右焦点F作直线l交椭圆于M、N两点，设|
|=
；
（1）求直线l的斜率；
（2）设M、N在椭圆右准线上的射影分别是M1、N1，求
•
的值．
| MN |
| 3 |
| 2 |
（1）求直线l的斜率；
（2）设M、N在椭圆右准线上的射影分别是M1、N1，求
| MN |
| M1N1 |
分析：（1）设直线l的倾斜角为θ，k=tanθ，F(
，0)，由
，得(1+4k2)x2-8
k2x+12k2-4=0，由韦达定理和|
|=
=
|x1-x2|能求出直线l的斜率．
（2）
•
=|
|•|
|cos(90°-θ)=|
|2sin2θ，由k2=tan2θ=
，知sin2θ=
，|
|2=
，由此能求出
•
的值．
| 3 |
|
| 3 |
| MN |
| 3 |
| 2 |
| 1+k2 |
（2）
| MN |
| M1N1 |
| MN |
| M1N1 |
| MN |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 9 |
| MN |
| 9 |
| 4 |
| MN |
| M1N1 |
解答：解：（1）设直线l的倾斜角为θ，显见θ≠90°，
k=tanθ，F(
，0)，
由
，得(1+4k2)x2-8
k2x+12k2-4=0，（2分）
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2=
，x1x2=
，
∵|
|=
=
|x1-x2|=
，
整理，得
=
，
解得k2=
，∴k=±
．（6分）
（2）
•
=|
|•|
|cos(90°-θ)
=|
|•|
|cos2(90°-θ)
=|
|2sin2θ，（9分）
k2=tan2θ=
，
∴sin2θ=
，|
|2=
，
∴
•
=
•
=
．（12分）
k=tanθ，F(
| 3 |
由
|
| 3 |
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2=
8
| ||
| 1+4k2 |
| 12k2-4 |
| 1+4k2 |
∵|
| MN |
| 3 |
| 2 |
| 1+k2 |
| 1+k2 |
(
|
整理，得
| 4k2+4 |
| 1+4k2 |
| 3 |
| 2 |
解得k2=
| 5 |
| 4 |
| ||
| 2 |
（2）
| MN |
| M1N1 |
| MN |
| M1N1 |
=|
| MN |
| MN |
=|
| MN |
k2=tan2θ=
| 5 |
| 4 |
∴sin2θ=
| 5 |
| 9 |
| MN |
| 9 |
| 4 |
∴
| MN |
| M1N1 |
| 9 |
| 4 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
| 4 |
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．
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；
的值．