Question

在长方体AC₁中，AA₁=AD=2，AB=4，M、N分别是AB与BC的中点，则直线A₁M与C₁N的位置关系是

相交

； 它们所成角的大小是

arccos

10

5

；点A到对角线B₁D的距离是

30

3

．

Answer 1

分析：①连接A₁C₁，MN，由题意可得：MN∥A₁C₁，并且MN=

1

2

A₁C₁，进而得到直线A₁M与C₁N相交．
②取A₁B₁，B₁C₁的中点分别为E，F，连接BE，NF，可得BE∥A₁M，BF∥C₁N，所以∠EBF与所求角相等或者互补，再利用解三角形的有关知识求出答案．
③设点A到对角线B₁D的距离是 h，根据长方体的结构特征可得：AB1⊥AD，可得△AB₁D为直角三角形，进而根据等面积法可得答案．

解答：解：长方体如图所示：

①连接A₁C₁，MN，
因为在长方体AC₁中，M、N分别是AB与BC的中点，
所以MN∥A₁C₁，并且MN=

1

2

A₁C₁，
所以直线A₁M与C₁N相交，
所以直线A₁M与C₁N的位置关系是：相交．
②取A₁B₁，B₁C₁的中点分别为E，F，连接BE，NF，
因为M，E分别为AB，A₁B₁的中点，
所以BE∥A₁M，同理BF∥C₁N，
所以∠EBF与所求角相等或者互补．
因为在长方体AC₁中，AA₁=AD=2，AB=4，
所以在△BEF中有：BE=2

2

，BF=

5

，EF=

5

，
所以cos∠EBF=

10

5

，
所以直线A₁M与C₁N所成角的大小是arccos

10

5

．
③设点A到对角线B₁D的距离是 h，
根据长方体的结构特征可得：AB1⊥AD，
所以△AB₁D为直角三角形，并且AD=2，AB₁=2

5

，B₁D=2

6

，
所以根据等面积法可得：h=

AD•AB1

B1D

=

30

3

．
故答案为：相交；arccos

10

5

；

30

3

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握长方体的结构特征与空间中点、线、面得位置关系的判定，以及求空间角（平移法）与空间距离（等积法）的方法，也可以距离空间直角坐标系，利用空间向量的有关运算求空间角与空间距离，以及判断线面的位置关系．