题目内容
已知向量
=（
，-
），
=（
，
），且存在实数x和y，使向量
=
+（x2-3）•
，
=-y
+x
，且
⊥
．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的关系式，并求其单调区间和极值；
（Ⅱ）是否存在正数M，使得对任意x1，x2∈[-1，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤M成立？若存在求出M；若不存在，说明理由．
| a |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| b |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| m |
| a |
| b |
| n |
| a |
| b |
| m |
| n |
（Ⅰ）求函数y=f（x）的关系式，并求其单调区间和极值；
（Ⅱ）是否存在正数M，使得对任意x1，x2∈[-1，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤M成立？若存在求出M；若不存在，说明理由．
分析：（Ⅰ）由条件可得
•
=0，故
•
=-3y+x（x2-3）=0，可得y=f（x）=
x3-x，求导数可得单调区间和极值；
（Ⅱ）可知f（x）在[-1，1]上的最大值为
，最小值为-
，可得|f（x1）-f（x2）|≤|
-(-
)|=
，进而可得答案．
| a |
| b |
| m |
| n |
| 1 |
| 3 |
（Ⅱ）可知f（x）在[-1，1]上的最大值为
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
解答：解：（Ⅰ）由题意可得
•
=
×
+(-
)×
=0，
由且
⊥
可得
•
=[
+（x2-3）•
]•（-y
+x
）
=-y
2+x（x2-3）
2=-3y+x（x2-3）=0，
变形可得y=f（x）=
x3-x．
求导数可得f′（x）=x2-1=（x+1）（x-1）．
故在（-∞，-1）和（1，+），f′（x）＞0
函数f（x）为增函数，
在（-1，1）f′（x）＜0，函数f（x）为减函数．
故f（x）的极大值为f（-1）=
，f（x）的极小值为f（1）=-
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函数f（x）=
x3-x在[1，1]上为减函数，
故f（x）的最大值为f（-1）=
，最小值为f（1）=-
，
故对任意x1，x2∈[-1，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤|
-(-
)|=
，
故存在正数M≥
符合要求．
| a |
| b |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
由且
| m |
| n |
| m |
| n |
| a |
| b |
| a |
| b |
=-y
| a |
| b |
变形可得y=f（x）=
| 1 |
| 3 |
求导数可得f′（x）=x2-1=（x+1）（x-1）．
故在（-∞，-1）和（1，+），f′（x）＞0
函数f（x）为增函数，
在（-1，1）f′（x）＜0，函数f（x）为减函数．
故f（x）的极大值为f（-1）=
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，函数f（x）=
| 1 |
| 3 |
故f（x）的最大值为f（-1）=
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
故对任意x1，x2∈[-1，1]，都有|f（x1）-f（x2）|≤|
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
故存在正数M≥
| 4 |
| 3 |
点评：本题考查函数的单调性和极值，涉及平面向量的运算和垂直与数量积的关系，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
=(3，1)，
=(2，λ)，若
∥
，则实数λ的值为（ ）
| a |
| b |
| a |
| b |
A、
| ||
B、-
| ||
C、
| ||
D、-
|