Question

【题目】如图，在四棱锥中，∥AB，，，，，，，E是的中点.

（1）求证：；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）通过证明和，得平面，从而即可得到本题答案；

（2）以M点为原点，为x轴，为y轴，以过点M且垂直平面ABCD的方向为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ABE和平面PBE的法向量，然后套用公式即可得到本题答案.

（1）证明：如图，设M是的中点，连接，

在梯形中，由已知易得，

在中，，则，

与是平面内的两条相交直线，

所以平面，而在平面内，

所以；

（2）解：作PH垂直于MC，垂足为H，以M点为原点，为x轴，为y轴，以过点M且垂直平面ABCD的方向为z轴，建立空间直角坐标系.

在中，因为,,所以，则，

易知，又，所以，即为直角三角形，

易得，

所以

因为，

所以平面的一个法向量是，

又，，

所以平面的一个法向量是，

，

由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值是.