Question

张家界某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y万元与投入x（x≥10）万元之间满足：y=f(x)=ax2+

101

50

x-bln

x

10

，a，b为常数．当x=10万元时，y=19.2万元；当x=20万元时，y=35.7万元．（参考数据：ln2=0.7，ln3=1.1，ln5=1.6）
（1）求f（x）的解析式；
（2）求该景点改造升级后旅游利润T（x）的最大值．（利润=旅游增加值-投入）

Answer 1

分析：（1）由条件：“当x=10万元时，y=19.2万元；当x=20万元时，y=35.7万元”列出关于a，b的方程，解得a，b的值即得则求f（x）的解析式；
（2）先写出函数T（x）的解析式，再利用导数研究其单调性，进而得出其最大值，从而解决问题．

解答：解：（1）由条件

a×102+ 101 50 ×10-bln1=19.2 a×202+ 101 50 ×20-bln2=35.7

（2分）
解得a=-

1

100

，b=1（4分）
则f(x)=-

x2

100

+

101

50

x-ln

x

10

(x≥10)．（6分）
（2）由T(x)=f(x)-x=-

x2

100

+

51

50

x-ln

x

10

(x≥10)
则T′(x)=

-x

50

+

51

50

-

1

x

=-

(x-1)(x-50)

50x

（10分）
令T'（x）=0，则x=1（舍）或x=50
当x∈（10，50）时，T'（x）＞0，
因此T（x）在（10，50）上是增函数；
当

MA

•

MB

=x₁x₂+（y₁-m）（y₂-m）=x₁x₂+y₁y₂-m（y₁+y₂）+m²时，T'（x）＜0，
因此T（x）在（50，+∞）上是减函数，∴x=50为T（x）的极大值点（12分）
即该景点改造升级后旅游利润T（x））的最大值为T（50）=24.4万元．（13分）

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、应用所学导数的知识、思想和方法解决实际问题的能力，建立函数式、解方程、不等式、最大值等基础知识．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．