Question

设{a_n}为等差数列，{b_n}为等比数列，a₁=b₁=1，a₂+a₄=b₃，b₂b₄=a₃，分别求出{a_n}及{b_n}的前10项的和S₁₀及T₁₀．

Answer 1

分析：根据等差数列的性质可知a₂+a₄=2a₃，根据等比数列的性质可知b₂b₄=b₃²，而已知a₂+a₄=b₃，b₂b₄=a₃，所以得到b₃=2a₃，a₃=b₃²，两者联立，由b₃≠0，即可求出a₃与b₃的值，然后分别根据a₁=b₁=1，利用等差及等比数列的通项公式求出等差数列的公差d及等比数列的公比q，然后根据等差、等比数列的前n项和的公式即可求出{a_n}及{b_n}的前10项的和S₁₀及T₁₀的值．

解答：解：∵{a_n}为等差数列，{b_n}为等比数列，
∴a₂+a₄=2a₃，b₂b₄=b₃²
已知a₂+a₄=b₃，b₂b₄=a₃，
∴b₃=2a₃，a₃=b₃²
得b₃=2b₃²
∵b₃≠0∴b3=

1

2

， a3=

1

4

由a₁=1，a3=

1

4

知{a_n}的公差为d=-

3

8

，
∴S10=10a1+

10×9

2

d=-

55

8

，
由b₁=1，b3=

1

2

知{b_n}的公比为q=

2

2

或q=-

2

2

．
当q=

2

2

时，T10=

b1(1-q10)

1-q

=

31

32

(2+

2

)，
当q=-

2

2

时，T10=

b1(1-q10)

1-q

=

31

32

(2-

2

)．

点评：此题考查学生灵活运用等差、等比数列的通项公式及等差、等比数列的前n项和的公式化简求值，是一道综合题．