题目内容
从边长为2a的正方形铁皮的四个角各截去一个边长为x的小正方形,再将四边向上折起,做成一个无盖的长方体铁盒,且要求长方体的高度x与底面正方形的边长的比不超过常数t.问:(1)求长方体的容积V关于x的函数表达式;
(2)x取何值时,长方体的容积V有最大值?
【答案】分析:(1)先求出长方体的底面正方形的边长和高,便可求出长方体的容积V解析式.
(2)把容积V变形后使用基本不等式求出最大值,注意分析等号成立条件能否满足,
当等号成立条件不能满足时,利用导数值的符号确定函数的单调性,由单调性确定函数的最大值.
解答:解:(1)长方体的底面正方形的边长为2a-2x,高为x,所以,容积V=4(x-a)2x,
由
,得 0<x≤
,
(2)由均值不等式知V=2(a-x)(a-x)(2x)
,
当a-x=2x,即
时等号成立.
①当
,即
,
;
②当
,即
时,
,
则V′(x)在
上单调递减,
∴
,
∴V(x)在
单调递增,
∴
总之,若
,则当
时,
;
若
,则当
时,
.
点评:本题考查基本不等式在函数最值中的应用,利用导数来研究函数的单调性,由函数的单调性确定函数的最大值.
(2)把容积V变形后使用基本不等式求出最大值,注意分析等号成立条件能否满足,
当等号成立条件不能满足时,利用导数值的符号确定函数的单调性,由单调性确定函数的最大值.
解答:解:(1)长方体的底面正方形的边长为2a-2x,高为x,所以,容积V=4(x-a)2x,
由


(2)由均值不等式知V=2(a-x)(a-x)(2x)

当a-x=2x,即

①当



②当



则V′(x)在

∴

∴V(x)在

∴

总之,若



若



点评:本题考查基本不等式在函数最值中的应用,利用导数来研究函数的单调性,由函数的单调性确定函数的最大值.

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