题目内容
已知A、B、C是△ABC的三个内角，y=cotA+| 2sinA | cosA+cos(B-C) |
（1）若任意交换两个角的位置，y的值是否变化？试证明你的结论．
（2）求y的最小值．
分析：（1）利用诱导公式对y的表达式进行化简整理求得y=cotA+cotB+cotC，进而可推断出任意交换两个角的位置，y的值均不变化．
（2）利用同角三角函数的基本关系和cos（B-C）的范围，可确定y的范围，进而求得y的最小值．
（2）利用同角三角函数的基本关系和cos（B-C）的范围，可确定y的范围，进而求得y的最小值．
解答：解：（1）∵y=cotA+
=cotA+
=cotA+
=cotA+cotB+cotC，
∴任意交换两个角的位置，y的值不变化．
（2）∵cos（B-C）≤1，
∴y≥cotA+
=
+2tan
=
（cot
+3tan
）≥
=
．
故当A=B=C=
时，ymin=
．
| 2sin[π-(B+C)] |
| cos[π-(B+C)]+cos(B-C) |
=cotA+
| 2sin(B+C) |
| -cos(B+C)+cos(B-C) |
=cotA+
| sinBcosC+cosBsinC |
| sinBsinC |
=cotA+cotB+cotC，
∴任意交换两个角的位置，y的值不变化．
（2）∵cos（B-C）≤1，
∴y≥cotA+
| 2sinA |
| 1+cosA |
1-tan2
| ||
2tan
|
| A |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| A |
| 2 |
| A |
| 2 |
3tan
|
| 3 |
故当A=B=C=
| π |
| 3 |
| 3 |
点评：本题主要考查了三角函数的最值，诱导公式的化简求值，以及同角三角函数的基本关系的应用．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．
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