题目内容
已知椭圆C：
+
=1，过点（2，0）作圆x2+y2=1的切线l交椭圆C于A，B两点．
（1）求切线l的方程；
（2）求弦AB的长．
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 4 |
（1）求切线l的方程；
（2）求弦AB的长．
分析：（1）设出切线l的点斜式方程：y=k（x-2），由题意原点到直线l的距离等于1，利用点到直线距离公式建立关于k的方程解出k=±
，可得切线l的方程；
（2）直线l方程与椭圆方程消去y，得到7x2-16x-32=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系算出|x1-x2|=
，再由弦长公式即可算出弦AB的长．
| ||
| 3 |
（2）直线l方程与椭圆方程消去y，得到7x2-16x-32=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根与系数的关系算出|x1-x2|=
24
| ||
| 7 |
解答：解：（1）设切线l的方程为y=k（x-2），即kx-y-2k=0
∵直线l与圆x2+y2=1相切
∴原点到直线l的距离d=
=1，解之得k=±
∴切线l的方程为y=±
(x-2)
（2）由y=±
(x-2)与C：
+
=1消去y，
得7x2-16x-32=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=
，x1x2=-
∴|x1-x2|=
=
因此，弦AB的长|AB|=
•|x1-x2|=
×
=
．
∵直线l与圆x2+y2=1相切
∴原点到直线l的距离d=
| |-2k| | ||
|
| ||
| 3 |
∴切线l的方程为y=±
| ||
| 3 |
（2）由y=±
| ||
| 3 |
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 4 |
得7x2-16x-32=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=
| 16 |
| 7 |
| 32 |
| 7 |
∴|x1-x2|=
| (x1+x2)2-4 x1x2 |
24
| ||
| 7 |
因此，弦AB的长|AB|=
1+
|
2
| ||
| 3 |
24
| ||
| 7 |
16
| ||
| 7 |
点评：本题给出直线与圆相切，求切线方程并求切线被椭圆截得线段的长．着重考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式和弦长公式等知识，属于中档题．
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