Question

以下四个命题：
①如果两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线
都垂直于另一个平面内无数条直线；②设m、n为两条不
同的直线，α、β是两个不同的平面，若α∥β，m⊥α，n∥β，则m⊥n，③“直线a⊥b”的充分而不必要条件是“a垂直于b在平面α内的射影”；④若点P到一个三角形三条边的距离相等，则点P在该三角形所在平面上的射影是该三角形的内心．其中正确的命题序号为     ．

Answer 1

【答案】分析：①两个平面垂直，考虑直线与平面的位置关系，平行或相交，如果l∥β，则在β内可以找到无数条与l异面垂直的直线；如果l与β相交（含垂直），根据三垂线定理，在β内也能找到无数条直线与之垂直，②由α∥β，m⊥α，可以得到m⊥β，由n∥β，根据线面平行的性质定理，在β内一定存在一条与n平行的直线r，则m⊥r，故m⊥n，；③a垂直于b在平面α内的射影”应该是直线a⊥b”的充要条件；④若点P到一个三角形三条边的距离相等，作这些距离在三角形内的射影，则三个射影也相等，P的射影O到三边的距离相等，则O是三角形的内心．由此可以判定命题的真假．
解答：解：对于①两个平面垂直，一个平面α内的任意直线l与另一个平面β只有两种：平行或相交，如果l∥β，
则在β内可以找到无数条与l异面垂直的直线；如果l与β相交（含垂直），根据三垂线定理，
在β内页能找到无数条直线与之垂直，故①正确；
对于②，由α∥β，m⊥α，可以得到m⊥β，由n∥β，
根据线面平行的性质定理，在β内一定存在一条与n平行的直线r，则m⊥r，故m⊥n，正确；
对于③，a垂直于b在平面α内的射影”应该是直线a⊥b”的充要条件，错误；
对于④，根据条件，作这些距离在三角形内的射影，则三个射影也相等，P的射影O到三边的距离相等，则O是三角形的内心，错误；
故答案为：①②
点评：本题考查直线与直线位置关系的判定、平面与平面位置关系的判定、三角形五心的定义、是空间直线、平面位置关系判定与性质的综合应用，解答时一定要注意判定定理与性质定理的综合应用、三角形五心的定义，否则极易出现错误．