Question

设m＞3，对于有穷数列{a_n}（n=1，2，…，m）），令b_k为a₁，a₂，…a_k中的最大值，称数列{b_n}为{a_n}的“创新数列”．数列{b_n}中不相等项的个数称为{a_n}的“创新阶数”．例如数列2，1，3，7，5的创新数列为2，2，3，7，7，创新阶数为3．考察自然数1，2，…m（m＞3）的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{C_n}．
（1）若m=5，写出创新数列为3，4，4，5，5的所有数列{C_n}；
（2）是否存在数列{C_n}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数{C_n}，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：根据令b_k为a₁，a₂，…a_k中的最大值，称数列{b_n}为{a_n}的“创新数列”，
（1）创新数列为3，4，4，5，5的所有数列{C_n}，可知其首项是3，第二项是4，第三项是1或2，第四项是5，第五项是2或1，可写出{C_n}；
（2）假设存在数列{C_n}，使它的创新数列为等差数列，根据创新数列的定义和等差数列的定义，分类讨论可求得{C_n}．
解答：解：（1）由题意，创新数列为3，4，4，5，5的数列{c_n}有两个，即：
①数列3，4，1，5，2；
②数列3，4，2，5，1．
（2）假设存在数列{c_n}，它的创新数列为等差数列．
设数列{C_n}的创新数列为{e_n}（n=1，2，…m），
因为e_m为，c₁，c₂…c_m中的最大值．
所以e_m=m．由题意知：e_k为c₁，c₂，…c_k中最大值，
e_k+1为c₁，c₂，…，e_k，e_k+1中最大值，
所以e_k≤e_k+1，且e_k∈{，2，…，m}．
若{e_n}为等差数列，设其公差为d，
则d=e_k+1-e_k≥0，且d∈N，
当d=0时，{e_n}为常数列，又e_m=m，
所以数列{e_n}为m，m，…，m，
此时数列{c_n}是首项为m的任意一个符合条件的数列；
当d=1时，因为e_m=m，所以数列{e_n}为1，2，3，…，m，
此时数列{c_n}是1，2，3，…，m；
当d≥2时，因为e_m=e₁+（m-1）d≥e₁+（m-1）×2=2m-2+e₁，
又m＞3，e₁＞0，所以e_m＞m，这与e_m=m矛盾，所以此时{e_n}不存在，
即不存在{c_n}使得它的创新数列为d≥2的等差数列．
综上，当数列{c_n}为：1°首项为m的任意符合条件的数列；
2°数列1，2，3，…，m时，它的创新数列为等差数列．
点评：考查学生理解数列概念，灵活运用数列表示法的能力，旨在考查学生的观察分析和归纳能力，特别是问题（2）的设置，增加了题目的难度，同时也考查了等差数列的定义和分类讨论的思想，属难题．