题目内容

设函数f(x)=cos(2x+
π
3
)+sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期.
(2)若x∈[
π
12
12
],求函数f(x)的值域.
(3)设A,B,C为△ABC的三个内角,若cosB=
1
3
,f(
c
2
)=-
1
4
,且C为锐角,求sinA.
分析:(1)利用两角和的余弦公式对已知函数进行化简,然后结合正弦函数的性质可求函数f(x)的最大值,最小正周期
(2)由已知x的范围先求出2x的范围,进而求出sin2x的范围,即可求解
(3)由已知f(
1
2
c
)=
1
2
-
3
sinC
2
=-
1
4
可求C,然后可求A+B,而SinA=sin(C+B)=sinBcosC+sinCcosB,把已知代入即可求解
解答:解:(1)f(x)=cos(2x+
1
3
π
)+sin2x
=cos2xcos
1
3
π
-sin2xsin
1
3
π
+
1-cos2x
2

=
1
2
cos2x-
3
2
sin2x+
1
2
-
1
2
cos2x

=
1-
3
sin2x
2

∵sin2x∈[-1,1]
1-
3
2
≤f(x)≤
1+
3
2

所以函数f(x)的最大值为
1+
3
2
,最小正周期为π
(2)∵x∈[
π
12
12
]
∴2x∈[
π
6
6
]

-
1
2
≤sin2x≤1

∴f(x)∈[
1-
3
2
2+
3
4
]

(3)f(
1
2
c
)=
1
2
-
3
sinC
2
=-
1
4

所以sinC=
3
2
,因为C为锐角,
所以C=
1
3
π
,又因为在△ABC中,cosB=
1
3
,所以sinB=
2
2
3

所以SinA=sin(C+B)=sinBcosC+sinCcosB
=
2
2
3
×
1
2
+
1
3
×
3
2

=
2
2
+
3
6
点评:本题主要考查了两角和的余弦公式、二倍角公式在三角函数化简中的应用,属于公式的综合应用
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