题目内容
设函数f(x)=cos(2x+
)+sin2x.
(1)求函数f(x)的最小正周期.
(2)若x∈[
,
],求函数f(x)的值域.
(3)设A,B,C为△ABC的三个内角,若cosB=
,f(
)=-
,且C为锐角,求sinA.
π |
3 |
(1)求函数f(x)的最小正周期.
(2)若x∈[
π |
12 |
7π |
12 |
(3)设A,B,C为△ABC的三个内角,若cosB=
1 |
3 |
c |
2 |
1 |
4 |
分析:(1)利用两角和的余弦公式对已知函数进行化简,然后结合正弦函数的性质可求函数f(x)的最大值,最小正周期
(2)由已知x的范围先求出2x的范围,进而求出sin2x的范围,即可求解
(3)由已知f(
c)=
-
=-
可求C,然后可求A+B,而SinA=sin(C+B)=sinBcosC+sinCcosB,把已知代入即可求解
(2)由已知x的范围先求出2x的范围,进而求出sin2x的范围,即可求解
(3)由已知f(
1 |
2 |
1 |
2 |
| ||
2 |
1 |
4 |
解答:解:(1)f(x)=cos(2x+
π)+sin2x
=cos2xcos
π-sin2xsin
π+
=
cos2x-
sin2x+
-
cos2x
=
∵sin2x∈[-1,1]
∴
≤f(x)≤
所以函数f(x)的最大值为
,最小正周期为π
(2)∵x∈[
,
]
∴2x∈[
,
]
∴-
≤sin2x≤1
∴f(x)∈[
,
]
(3)f(
c)=
-
=-
所以sinC=
,因为C为锐角,
所以C=
π,又因为在△ABC中,cosB=
,所以sinB=
所以SinA=sin(C+B)=sinBcosC+sinCcosB
=
×
+
×
=
1 |
3 |
=cos2xcos
1 |
3 |
1 |
3 |
1-cos2x |
2 |
=
1 |
2 |
| ||
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
=
1-
| ||
2 |
∵sin2x∈[-1,1]
∴
1-
| ||
2 |
1+
| ||
2 |
所以函数f(x)的最大值为
1+
| ||
2 |
(2)∵x∈[
π |
12 |
7π |
12 |
∴2x∈[
π |
6 |
7π |
6 |
∴-
1 |
2 |
∴f(x)∈[
1-
| ||
2 |
2+
| ||
4 |
(3)f(
1 |
2 |
1 |
2 |
| ||
2 |
1 |
4 |
所以sinC=
| ||
2 |
所以C=
1 |
3 |
1 |
3 |
2
| ||
3 |
所以SinA=sin(C+B)=sinBcosC+sinCcosB
=
2
| ||
3 |
1 |
2 |
1 |
3 |
| ||
2 |
=
2
| ||||
6 |
点评:本题主要考查了两角和的余弦公式、二倍角公式在三角函数化简中的应用,属于公式的综合应用
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