Question

已知f(x)=

xn-x-n

xn+x-n

，n∈N^*，试比较f(

2)

与

n2-1

n2+1

的大小，并且说明理由．

Answer 1

分析：根据f(x)=

xn-x-n

xn+x-n

，我们易求出f(

2)

=1-

2

2n+1

，而

n2-1

n2+1

=1-

2

n2+1

，故可将比较f(

2)

与

n2-1

n2+1

的大小，转化为比较2ⁿ与n²的大小．利用数学归纳法易证明结论．

解答：解：f(

2

)=

( 2 )n-( 2 )-n

( 2 )n+( 2 )-n

=

2n-1

2n+1

=1-

2

2n+1

，
而

n2-1

n2+1

=1-

2

n2+1

，
∴f(

2

)与

n2-1

n2+1

的大小等价于2ⁿ与n²的大小．
当n=1时，2¹＞1²；当n=2时，2²=2²；
当n=3时，2³＜3²；当n=4时，2⁴=4²；
当n=5时，2⁵＞5²．
猜想当n≥5时，2ⁿ＞n²．
以下用数学归纳法证明：
①当n=5时，由上可知不等式成立；
②假设n=k（k≥5）时，不等式成立，即2^k＞k²，则
当n=k+1时，2^k+1=2•2^k＞2k²，
又∵2k²-（k+1）²=（k-1）²-2＞0（∵k≥5），即2^k+1＞（k+1）²，
∴n=k+1时，不等式成立．
综合①②对n≥5，n∈N^*不等式2ⁿ＞n²成立．
∴当n=1或n≥5时，f(

2

)＞

n2-1

n2+1

；
当n=3时，f(

2

)＜

n2-1

n2+1

；
当n=2或4时，f(

2

)=

n2-1

n2+1

．

点评：本题考查的知识点是数学归纳法及数的大小比较，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．