题目内容
如图，平面直角坐标系中，点A、B、C在x轴上，点D、E在y轴上，OA=OD=2，
OC=OE=4，DB⊥DC，直线AD与经过B、E、C三点的抛物线交于F、G两点，与其对称轴交
于M.点P为线段FG上一个动点(与F、G不重合)，PQ∥y轴与抛物线交于点Q.
(1)求经过B、E、C三点的抛物线的解析式；
(2)是否存在点P，使得以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似？若存在，求出满足条件
的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若抛物线的顶点为N，连接QN，探究四边形PMNQ的形状：①能否成为菱形；②能否成
为等腰梯形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由.
(1) y=-（x+1）（x-4）=-x2+3x+4 (2)存在符合条件的P点 (3)存在
【解析】
试题分析：（1）在R t △BDC中，OD⊥BC， 由射影定理，得：OD2=OB?OC； 则OB=OD2
÷OC=1；∴B（-1，0）； ∴B（-1，0），C（4，0），E（0，4）； 设抛物线的解析式为：
y=a（x+1）（x-4）（a≠0），则有： a（0+1）（0-4）=4，a=-1；∴y=-（x+1）（x-4）=-x2+3x+4；
（2）因为A（-2，0），D（0，2）； 所以直线AD：y=x+2； 联立抛物线的解析式可求得F
（1-
，3- ），G（1+ ，3+ ）； 设P点坐标为（x，x+2）（1- ＜x＜
1+ ），则Q（x，-x2+3x+4）； ∴PQ=-x2+3x+4-x-2=-x2+2x+2； 易知M（
，
）。 若
以P、Q、M为顶点的三角形与△AOD相似，则△PQM为等腰直角三角形； ①以M为直
角顶点，PQ为斜边，则P（2- ，4- ）； ②以Q为直角顶点，PM为斜边；
P（
，
）故存在符合条件的P点，且P点坐标为（2- ，4- ）
或（ ， ）；（3）易知N（ ，
），M（ ， ）； 设P点
坐标为（m，m+2）， 则Q（m，-m2+3m+4）；（1- ＜m＜1+ ） ∴PQ=-m2+2m+2，
NM=
； ①若四边形PMNQ是菱形，则首先四边形PMNQ是平行四边形，有： MN=PQ，
即：-m2+2m+2= ， 解得m= 
，m= （舍去）；当m= 时，P（ ， ），Q
（ ，
） 此时PM≠MN，故四边形PMNQ不可能是菱形； ②由于当NQ∥PM时，
四边形PMNQ是平行四边形，所以若四边形PMNQ是梯形，只有一种情况：PQ∥MN，此
时P点坐标为（
，
）．
∴四边形PMNQ可以是等腰梯形，且P点坐标为（ ， ）．
考点：二次函数综合应用
点评：此题是二次函数的综合题，考查的知识点有：直角三角形的性质，二次函数的确定，
等腰三角形、菱形、等腰梯形的判定和性质等，同时还考查了分类讨论的数学思想；要特别
注意的是在判定梯形的过程中，不要遗漏证明另一组对边不平行的条件．
如图，平面直角坐标系xOy中，△AOB和△COD为两等腰直角三角形，A（-2，0），C（a，0），（a＞0），设△AOB和△COD的
有一座抛物线型拱桥，其水面宽AB为18米，拱顶O离水面AB的距离OM为8米，货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF，如图建立平面直角坐标系．
如图，平面直角坐标系中，A（
（2008•江苏二模）如图，平面直角坐标系xOy中，△AOB和△COD为两等腰直角三角形，A（-2，0），C（a，0）（a＞0）．设△AOB和△COD的外接圆圆心分别为M，N．
（2012•虹口区二模）如图，平面直角坐标系中，射线y=x（x≥0）和y=0（x≥0）上分别依次有点A1、A2，…，An，…，和点B1，B2，…，Bn…，其中