题目内容

记min{p，q}=
p，?当p≤q
q．?当p＞q
．若函数f(x)=min{3+log
1
4
x，log2x}，
用分段函数形式写出函数f（x）的解析式，并求f（x）＜2的解集．
分析：根据题意，min{p，q}表示两个数中较小的数，比较两个数的大小可进行做差比较，欲求f（x）＜2的解集需要分段求解，分别求出在每一段上的解集，然后求它们的并集．
解答：解：f(x)=min{3+log
1
4
x，log2x}=
3+log
1
4
x，?3+log
1
4
x≤log2x
log2x ，??3+log
1
4
x＞log2x

3+log
1
4
x=log2x得x=4．又函数y1=3+log
1
4
x在（0，+∞）内递减，y2=log2x在（0，+∞）内递增，所以当0＜x＜4时，3+log
1
4
x＞log2x；当x≥4时，3+log
1
4
x≤log2x．
所以f(x)=
log2x，?0＜x＜4
3+log
1
4
x，?x≥4
．
f（x）＜2等价于：
0＜x＜4
log2x＜2
①或
x≥4
3+log
1
4
x＜2
②．
解得：0＜x＜4或x＞4，
故f（x）＜2的解集为（0，4）∪（4，+∞）．
点评：本题考查了函数与方程的综合运用，以及解不等式的解集．
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系xoy上，给定抛物线L：y=
1
4
x2．实数p，q满足p2-4q≥0，x1，x2是方程x2-px+q=0的两根，记φ（p，q）=max{|x1|，|x2|}．
（1）过点，A（p0，
1
4
p02）（p0≠0），作L的切线交y轴于点B．证明：对线段AB上的任一点Q（p，q），有φ（p，q）=
|p0|
2
；
（2）设M（a，b）是定点，其中a，b满足a2-4b＞0，a≠0．过M（a，b）作L的两条切线l1，l2，切点分别为E（p1，
1
4
p
2
1
），E′（p2，
1
4
p22），l1，l2与y轴分别交于F，F′．线段EF上异于两端点的点集记为X．证明：M（a，b）∈X?|P1|＜|P2|?φ（a，b）=
|p1|
2
．
（3）设D={ （x，y）|y≤x-1，y≥
1
4
（x+1）2-
5
4
}．当点（p，q）取遍D时，求φ（p，q）的最小值 （记为φmin）和最大值（记为φmax）
记min{p，q}=
p，p≤q
q．p＞q
．
（1）若函数f(x)=min{
x
，
2
3
(x-1)}，求f（x）表达式
（2）求f(x)=min{3|x-p1|，2×3|x-p2|)}=3|x-p1|，对所有实数x成立的充分必要条件（用p1，p2表示）；
（3）若f(x)=min{3|x-p1|，2×3|x-p2|)}，且f（a）=f（b）（a，bp1，p2为实数，且a＜bp1，p2∈（a，b））求f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和（闭区间[m，n]的长度定义为n-m）．
已知函数f（x）=x2-2（a+2）x+a2，g（x）=-x2+2（a-2）x-a2+8，若max{p，q}表示p，q中较大者，min{p，q}表示p，q中的较小者，设G（x）=max{f（x），g（x）}，H（x）=min{f（x），g（x）}，记G（x）的最小值为A，H（x）的最大值为B，则A-B=
 
．
记min{p，q}=
p，p≤q
q．p＞q
．
（1）若函数f(x)=min{
x
，
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3
(x-1)}，求f（x）表达式
（2）求f(x)=min{3|x-p1|，2×3|x-p2|)}=3|x-p1|，对所有实数x成立的充分必要条件（用p1，p2表示）；
（3）若f(x)=min{3|x-p1|，2×3|x-p2|)}，且f（a）=f（b）（a，bp1，p2为实数，且a＜bp1，p2∈（a，b））求f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和（闭区间[m，n]的长度定义为n-m）．

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