Question

要建造一个容积为2000m³，深为5m的长方体无盖蓄水池，池壁的造价为95元/m²，池底的造价为135元/m²，若水池底的一边长为xm，水池的总造价为y元．
（1）把水池总造价y表示为x的函数y=f（x），并写出函数的定义域．
（2）试证明：函数y=f（x）当x∈（0，20]时是减函数，当x∈[20，+∞）时是增函数
（3）当水池底的一边长x为多少时，水池的总造价最低，最低造价是多少．

Answer 1

（1）解：由池底的一边长为xm，则池宽为，池底面积为400m²，
根据水池总造价等于池底造价+池壁造价，可得水池总造价y为：（x＞0）
（2）证明：由（x＞0）
设x₁，x₂＞0且0＜x₂＜x₁≤20
∴，
∵x₁，x₂＞0且0＜x₂＜x₁≤20
∴x₁-x₂＞0，x₁x₂-400＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴当x∈（0，20]时，函数y=f（x）是减函数；
同理x∈[20，+∞）时，函数y=f（x）是增函数．
（3）解：由（2）知当x=20，函数y=f（x）取得最小值f（20）=92000．
答：当水池的长x为20m时，水池的总造价最低，最低造价为92000元．
分析：（1）水池总造价等于池底造价+池壁造价，代入整理即可得到函数y=f（x），同时可得函数的定义域；
（2）利用单调性的证题步骤：取值，作差，变形，定号，下结论即可．设x₁，x₂＞0且0＜x₂＜x₁≤20，作差变形可得f（x₁）＜f（x₂），从而当x∈（0，20]时，函数y=f（x）是减函数；同理x∈[20，+∞）时，函数y=f（x）是增函数．
（3）利用（2）中函数的单调性，即可得结论．
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查函数的单调性，考查函数的最值，体现了学数学，用数学解决实际问题．