题目内容

我们常用构造等式对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式,如由等式可得,左边的系数为
而右边的系数为
恒成立,可得
利用上述方法,化简      

试题分析:构造等式(x-1)2n•(x+1)2n=(x2-1)2n,由左式可得x2n的系数为C2n2n•(-1)2nC2n0+C2n2n-1•(-1)2n-1C2n1+C2n2n-2•(-1)2n-2C2n2+…+C2n0•(-1)0C2n2n,即(C2n02-(C2n12+(C2n22-(C2n32+…+(C2n2n2,由右式可得得x2n的系数为(-1)nC2nn,故有(C2n02-(C2n12+(C2n22-(C2n32+…+(C2n2n2=(-1)nC2nn
点评:对于此类组合数的应用问题,常常涉及二项式定理的应用,关键要根据题意,充分利用组合数的性质.
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