Question

（1）如果a，b都是正数，且a≠b，求证a⁶+b⁶＞a⁴b²+a²b⁴
（2）设a，b，c为△ABC的三条边，求证（a+b+c）²＜4（ab+bc+ca）

Answer 1

证明：（1）a⁶+b⁶-（a⁴b²+a²b⁴）=a⁴（a²-b²）-b⁴（a²-b²）=（a²-b²）²（a²+b²）
∵a，b都是正数，且a≠b，
∴（a²-b²）²（a²+b²）＞0，
∴a⁶+b⁶＞a⁴b²+a²b⁴
（2）要证原不等式成立，只需证4（ab+bc+ca）-（a+b+c）²＞0
即a²+b²+c²-2（ab+bc+ca）＜0，
即a²+b²+c²-a（b+c）-b（c+a）-c（a+b）＜0，
也即a[a-（b+c）]+b[b-（c+a）]+c[c-（a+b）]＜0成立．
因为a，b，c为△ABC的三条边，所以a-（b+c）＜0，b-（c+a）＜0，c-（a+b）＜0
即从而a[a-（b+c）]+b[b-（c+a）]+c[c-（a+b）]＜0成立，所以原不等式也成立
分析：（1）首先由题目求证a⁶+b⁶＞a⁴b²+a²b⁴，可以根据做差法求a⁶+b⁶-（a⁴b²+a²b⁴）然后根据已知条件a，b都是正数，且a≠b，求得a⁶+b⁶-（a⁴b²+a²b⁴）大于0即可．
（2）首先要证明（a+b+c）²＜4（ab+bc+ca），可以做差然后化简得a²+b²+c²-a（b+c）-b（c+a）-c（a+b）．然后根据已知条件a，b，c为△ABC的三条边，两边之和大于第三边，可证明a²+b²+c²-a（b+c）-b（c+a）-c（a+b）＜0．即得到结果．
点评：（1）题主要考查不等式的证明问题，涉及到做差法的应用；（2）小题主要考查基本不等式的证明问题，其中涉及到三角形的性质两边之和大于第三边，属于中档题目．