Question

某投资公司年初用万元购置了一套生产设备并即刻生产产品，已知与生产产品相关的各种配套费用第一年需要支出万元，第二年需要支出万元，第三年需要支出万元，……，每年都比上一年增加支出万元，而每年的生产收入都为万元．假设这套生产设备投入使用年，，生产成本等于生产设备购置费与这年生产产品相关的各种配套费用的和，生产总利润等于这年的生产收入与生产成本的差. 请你根据这些信息解决下列问题：

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）若干年后，该投资公司对这套生产设备有两个处理方案：

方案一：当年平均生产利润取得最大值时，以万元的价格出售该套设备；

方案二：当生产总利润取得最大值时，以万元的价格出售该套设备． 你认为哪个方案更合算？请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）7; （Ⅱ）从投资收益的角度看，方案一比方案二更合算.

【解析】

试题分析：1.由于文字叙述较长，很多考生对题意不甚了了，所建立的函数模型也是错误百出，从而导致本题的得分是很低的.2.第（Ⅰ）问中，很多考生在求的时候，都把等差数列的前项和错误理解为第项了，即.3.第（Ⅱ）问中，一些考生不理解“年平均生产利润取得最大值”、“生产总利润取得最大值”的含义，从而无法建立模型.4. 第（Ⅱ）问中，所建立的模型是对的，并且也求出了分别等于7和11，但之后就不知道应该选择哪一个量作为标准，来判断哪个方案更好.

试题解析：（Ⅰ）由题意知该公司这年需要支出与生产产品相关的各种配套费用是以为首项，为公差的等差数列的前项和．

∴.

由得，解得.

∵，∴，，，……，.

∴的解集为.

（Ⅱ）(1) 由已知得年平均生产利润为.

∵,

 “”成立，即,

∴当时，年平均生产利润取得最大值，若执行方案一，总收益为（万元）.

(2) ∵，，

∴当时，生产总利润取得最大值，若执行方案二，总收益为

（万元）.

∴无论执行方案一还是方案二，总收益都为万元.

∵，∴从投资收益的角度看，方案一比方案二更合算.

注：第（Ⅱ）问答案不唯一，只要言之有理即可.

考点：阅读和建模能力，运用函数、数列、均值不等式等知识和方法解决实际问题能力.