Question

给定集合A_n={1，2，3，…，n}，映射f：A_n→A_n满足：
①当i，j∈A_n，i≠j时，f（i）≠f（j）；
②任取m∈A_n，若m≥2，则有m∈{f（1），f（2），..，f（m）}．
则称映射f：A_n→A_n是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射f：A₃→A₃是一个“优映射”．
表1                               

i	1	2	3
f（i）	2	3	1

表2

i	1	2	3	4
f（i）		3

（1）已知表2表示的映射f：A₄→A₄是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；
（2）若映射f：A₁₀→A₁₀是“优映射”，且方程f（i）=i的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是

84

．

Answer 1

分析：（1）根据“优映射”的定义可得，．
（2）根据“优映射”的定义，可知f（1）≠1，m≥2，根据m∈{f（1），f（2），..，f（m）}，且方程f（i）=i的解恰有6个，因此从2，3，…10这9个数中选取6个满足方程f（i）=i即可求得结果．

解答：解；（1）；
（2）根据优映射的定义可知：f（1）≠1，
∵m≥2，则有m∈{f（1），f（2），..，f（m）}，且映射f：A₁₀→A₁₀是“优映射”，且方程f（i）=i的解恰有6个，
故有C₉⁶=84
故答案为：，84

点评：本题考查映射的定义，“优映射”的定义，判断f（1）≠1，是解题的关键，是一道不错的创新题，属中档题．