Question

某大学高等数学老师上学期分别采用了A，B两种不同的教学方式对甲、乙两个大一新生班进行教改试验（两个班人数均为60人，入学数学平均分数和优秀率都相同；勤奋程度和自觉性都一样）．现随机抽取甲、乙两班各20名同学的上学期数学期末考试成绩，得到茎叶图如图：
（Ⅰ）从乙班这20名同学中随机抽取两名高等数学成绩不得低于85分的同学，求成绩为90分的同学被抽中的概率；
（Ⅱ）学校规定：成绩不低于85分的为优秀，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关？”

	甲班	乙班	合计
优秀
不优秀
合计

下面临界值表仅供参考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d）
（Ⅲ）从乙班高等数学成绩不低于85分的同学中抽取2人，成绩不低于90分的同学得奖金100元，否则得奖金50元，记ξ为这2人所得的总奖金，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析：（1）由茎叶图可知：乙班成绩不低于85分的同学共10人，其中成绩为90分的同学恰有1人，由古典概型易得所求概率；
（2）由茎叶图可得表格，计算可得K²的近似值，结合参考数值可得结论；
（3）由题意可得ξ的可能值为100，150，200，分别可求其概率，可得分布列，进而可得数学期望．

解答：解：（1）由茎叶图可知：乙班这20名同学中高等数学成绩不低于85分的同学共10人，
其中成绩为90分的同学恰有1人，
故从中随机抽取2人，成绩为90分的同学被抽中的概率为：P=

C 1 1 C 1 9

C 2 10

=

1

5

；
（2）由茎叶图可得：

	甲班	乙班	合计
优秀	3	10	13
不优秀	17	10	27
合计	20	20	40

计算可得K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

=

40(3×10-10×17)2

13×27×20×20

≈5.584＞5.024，
故在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为成绩优秀与教学方式有关
（3）由题意可得ξ的可能值为100，150，200，
则P（ξ=100）=

C 2 5

C 2 10

=

2

9

，P（ξ=150）=

C 1 5 C 1 5

C 2 10

=

5

9

，P（ξ=200）=

C 2 5

C 2 10

=

2

9

，
故ξ的分布列为：

ξ	100	150	200
P	2 9	5 9	2 9

∴Eξ=100×

2

9

+150×

5

9

+200×

2

9

=150（元）

点评：本题考查茎叶图，概率分布列和数学期望，以及独立性检验，属中档题．