Question

2009年12月底某房产公司一次性从银行贷款7亿，自筹资金3亿，总共10亿投资开发一个新的楼盘，此时银行贷款的月利息0.5%，存款的月利息0.3%（除税后），该公司计划从2010年1月底开始每月向银行等额归还本金和利息，并计划用24个月还清全部本金和利息，已知这家房产公司开发的这个新楼盘共建12栋高楼，每栋25层，每层4户，第1层每户卖90万，第2层每户卖92万元，自第2层到第13层，以后每升高一层加2万．14层在13层的基础上减2万，以后每升高一层减2万，假设这家房产公司从开始开发到售完所有房屋仅用2年时间；且买地、买建筑材料，人工成本等各项总开支为6120万元．（数据：1.005²⁴≈1.127，1.005¹²≈1.062，存款不计复利，贷款计复利，且银行月利息始终固定不变）
（1）在这一楼盘开发过程中，银行共获得了多少利息？（精确到万元）
（2）这家地产公司开发完这个楼盘，共获得了多少净收入？（净收入=地产纯收入-自有资金存入银行的所得利息，不计复利，精确到万元）

Answer 1

解：（1）设该公司每月还款数目为x亿元，则一月后，欠银行余额为（7×1.005-x）亿元
二月后，欠银行余额为（7×1.005-x）×1.005-x=7×1.005²-x（1+1.005）亿元
24月后，欠银行余额为7×1.005²⁴-x（1+1.005+…+1.005²³）=0
∴x=≈0.3106
∴银行共获得的利息为24x-7=4544万元
（2）每栋的销售收入为（90+92+…+114+112+…+92+90）×4=10152万元
∴整个楼盘的销售收入为10152×12=121824万元
∴整个楼盘的纯收入为12.1824-0.3106×24-3=1.728亿元
又若将资金存入银行可获利息为：30000×0.003×24=2160万元
所以这家地产公司开发完这个楼盘，共获得了净收入17280-2160-6120=9000万元．
分析：（1）设该公司每月还款数目为x亿元，可求得24月后，欠银行余额为7×1.005²⁴-x（1+1.005+…+1.005²³）=0，进而可求银行共获得的利息；
（2）计算每栋的销售收入，可得整个楼盘的销售收入、纯收入，求出资金存入银行可获利息，即可求得这家地产公司开发完这个楼盘，共获得了的净收入．
点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查数列模型，考查等差数列与等比数列的求和，属于中档题．