Question

已知椭圆，其中短轴长和焦距相等，且过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P（x，y）在椭圆C的外部，过P做椭圆的两条切线PM、PN，其中M、N为切点，则MN的方程为．已知点P在直线x+y-4=0上，试求椭圆右焦点F到直线MN的距离的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设椭圆方程为，由，过点M（2，），能导出椭圆方程．
（2）设P（x，y），则即x=4-y，因x+y-4=0与椭圆无交点，所以P在椭圆C的外部，MN所在直线方程为，由此能求出椭圆右焦点F到直线MN的距离的最小值．
解答：解：（1）设椭圆方程为，
∵，过点M（2，），
∴，
∴，
∴椭圆方程为．
（2）设P（x，y），则x+y-4=0，即x=4-y，
∵x+y-4=0与椭圆无交点，∴P在椭圆C的外部，
∴MN所在直线方程为，
即xx+2yy-8=0，
设所求距离为d，且F（2，0），
则
=，
∴当y=4时，d_min=1．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．