题目内容

已知椭圆中心在坐标原点O，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M（2，1），直线l平行OM，且与椭圆交于A、B两个不同的点．
（1）求椭圆方程；
（2）若∠AOB为钝角，求直线l在y轴上的截距m的取值范围；
（3）求证直线MA、MB与x轴围成的三角形总是等腰三角形．

（1）解：设椭圆方程 $\text{[math]}$ ，依题意可得 $\text{[math]}$ …2分
可得 $\text{[math]}$ ，所以椭圆方程为 $\text{[math]}$ ….4分
（2）解：设l方程为： $\text{[math]}$ ，与椭圆方程联立得：x²+2mx+2m²-4=0
由韦达定理得：x₁+x₂=-2m， $\text{[math]}$ …6分
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
因为∠AOB为钝角，所以 $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …7分
又直线l平行OM，∴ $\text{[math]}$ ….8分
（3）证明：依题即证k_AM+k_BM=0…9分
而 $\text{[math]}$ ..…10分
将 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 代入上式，得 $\text{[math]}$ ….12分
将（2）中韦达定理代入得，上式= $\text{[math]}$ =0
即证．…14分
分析：（1）设椭圆方程 $\text{[math]}$ ，利用长轴长是短轴长的2倍，且经过点M（2，1），建立方程组，即可求得椭圆方程；
（2）设l方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及∠AOB为钝角，结合向量知识，即可求直线l在y轴上的截距m的取值范围；
（3）依题即证k_AM+k_BM=0，利用韦达定理代入，即可证得结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．