题目内容

某工厂每月生产某种产品三件，经检测发现，工厂生产该产品的合格率为 $数学公式$ ，已知生产一件合格品能盈利25万元，生产一件次品将会亏损10万元，假设该产品任何两件之间合格与否相互没有影响．
（Ⅰ）求工厂每月盈利额ξ（万元）的所有可能取值；
（Ⅱ）若该工厂制定了每月盈利额不低于40万元的目标，求该工厂达到盈利目标的概率；
（Ⅲ）求工厂每月盈利额ξ的分布列和数学期望．

解：（I）工厂每月生产的三种产品中，合格产品的件数的所有可能结果是：0，1，2，3，则相应的月盈利额ξ的取值量ξ=-30，5，40，75…（2分）
（II）月盈利额ξ的分布量：
P（ξ=-30）=C₃⁰（ $\text{[math]}$ ）³= $\text{[math]}$ ，P（ξ=5）=C₃¹（ $\text{[math]}$ ）²• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
P（ξ=40）=C₃²（ $\text{[math]}$ ）²• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，P（ξ=75）=C₃³（ $\text{[math]}$ ）³= $\text{[math]}$ ，
所以P（ξ≥40）=P（ξ=40）+P（ξ=75）= $\text{[math]}$ …（12分）
即

ξ	-30	5	40	75
P	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$

（III）Eξ=（-30）× $\text{[math]}$ +5× $\text{[math]}$ +40× $\text{[math]}$ +75× $\text{[math]}$ =54…（14分）
分析：（I）由题意知，工厂每月生产的三种产品中，合格产品的件数的所有可能结果是：0，1，2，3，得到相应的月盈利额ξ的取值量ξ=-30，5，40，75．
（II）根据题意得到变量的可能的取值，根据变量对应的事件，利用独立重复试验的概率公式得到概率，写出分布列
（III）根据上一问做出的变量的分布列，代入求期望值的公式做出期望值．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和期望，即独立重复试验的概率公式，本题解题的关键是看出所给的变量符合什么规律，利用概率的公式来解题．