题目内容

(14分)已知函数满足对任意,都有.   w w w.k s 5 u.c o m

(1)求实数的取值范围;

(2)试讨论函数在区间 上的零点的个数;

(3)对于给定的实数,有一个最小的负数,使得时,都成立,则当为何值时,最小,并求出的最小值.

解析:(1)∵                      ………………1分

   ………………2分

,                                ………………3分

又∵,∴必有,∴实数的取值范围是.………………4分

(2),由(1)知:  ,所以

,知对称轴 , ………5分

①     当时,总有<0 ,

时,上有一个零点;               ………………6分

②当时, ,即时,上有两个零点;8分

③当时,有<0,, 故时,上有两个零点。                                                   ………………9分

综上:当时,上有一个零点;当时,上有两个零点。                                                    …………10分

 (3)∵,   w w w.k s 5 u.c o m

显然,对称轴.                          

①当,即时,,且.…11分

,解得

此时取较大的根,即

,∴.            ………………12分

②当,即时,,且.………13分

,解得

此时取较小的根,即

,∴. 当且仅当时,取等号 w w w.k s 5 u.c o m  

,∴当时,取得最小值-3.………………14分

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