题目内容
(14分)已知函数满足对任意
,
且
,都有
.
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(1)求实数的取值范围;
(2)试讨论函数在区间
上的零点的个数;
(3)对于给定的实数,有一个最小的负数
,使得
时,
都成立,则当
为何值时,
最小,并求出
的最小值.
解析:(1)∵ ………………1分
………………2分
, ………………3分
又∵,∴必有
,∴实数
的取值范围是
.………………4分
(2),由(1)知:
,所以
。
由 ,知对称轴
,
………5分
① 当时,总有
,
<0 ,
,
故时,
在
上有一个零点; ………………6分
②当时,
,即
时,
在
上有两个零点;8分
③当时,有
,
<0,
, 故
时,
在
上有两个零点。 ………………9分
综上:当时,
在
上有一个零点;当
时,
在
上有两个零点。 …………10分
(3)∵,
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显然,对称轴
.
①当,即
时,
,且
.…11分
令,解得
,
此时取较大的根,即
,
∵,∴
. ………………12分
②当,即
时,
,且
.………13分
令,解得
,
此时取较小的根,即
,
∵,∴
. 当且仅当
时,取等号
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∵,∴当
时,
取得最小值-3.………………14分

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