Question

平面上有n个圆和直线l，任意两个圆都相交，直线l也与这n个圆相交，记所有交点数的最大值为a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

1

an

，Sn=b1b3+b2b4+b3b5+…+bnbn+2，求最大的正整数K的值，使对任意的n，都有kS_n＜2005．

Answer 1

分析：（1）由题设知a_n+1=a_n+2n+2，a₁=2，由此能求出a_n=n（n+1）．
（2）用裂项法可得Sn=

1

18

-

1

3(n+1)(n+2)(n+3)

，由KSn＜2005得K(

1

18

-

1

3(n+1)(n+2)(n+3)

)＜2005．由此入手能求出K_max．

解答：解：（1）∵a_n+1=a_n+2n+2，
a₁=2，
∴a_n=n（n+1）．
（2）用裂项相消法可得Sn=

1

18

-

1

3(n+1)(n+2)(n+3)

，
由KSn＜2005得K(

1

18

-

1

3(n+1)(n+2)(n+3)

)＜2005，
令K′•

1

18

=2005，得K′=36090，则Kmax=36090，否则当Kmax=36091时
36091(

1

18

-

1

3(n+1)(n+2)(n+3)

)=2005+(

1

18

-

36091

3(n+1)(n+2)(n+3)

)，
由于n是任意整数，总存在n0使得

1

18

-

36091

3(n+1)(n+2)(n+3)

＞0，
从而有36091(

1

18

-

1

3(n+1)(n+2)(n+3)

)＞2005，故K=36091不满足条件，
所以K_max=36091．

点评：本题考查数列与解析几何的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．