Question

已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合．设点O为坐标原点，直线（参数t∈R）与曲线C的极坐标方程为 ρcos²θ=2sinθ
（Ⅰ）求直线l与曲线C的普通方程；
（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A，B两点，证明：=0．

Answer 1

解：（Ⅰ）由直线l的参数方程消去t得普通方程为 y=2x+2．
由曲线C的极坐标方程两边同乘ρ得曲线C的普通方程为 x²=2y．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由 消去y得 x²-4x-4=0，
∴x₁+x₂=4，x₁•x₂=-4，∴y₁y₂=，∴=x₁x₂+y₁y₂=0．
分析：（Ⅰ）由直线l的参数方程用代入法消去t得普通方程，曲线C的极坐标方程两边同乘ρ得曲线C的普通方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由 消去y得 x²-4x-4=0，求出x₁•x₂和y₁y₂的值，代入 =x₁x₂+y₁y₂进行运算．
点评：本题考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，两个向量的数量积公式，一元二次方程根与系数的关系，求得x₁•x₂ 和y₁y₂ 的值，是解题的难点．